双角平分线模型结论：双角平分线夹角等于两角和或差的一半

一、模型讲解

例、已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC（∠BOC>∠AOB），求∠DOE.

1、两个角无公共部分

∵ OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC

∴ ∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB，∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC

∴ ∠DOE=∠BOD+∠BOE=\frac{1}{2}(∠AOB+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOC

结论：无公共部分时，双角平分线夹角等于两角和的一半。

2、两个角有公共部分

∵ OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC
∴ ∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB，∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC

∴ ∠DOE=∠BOE-∠BOD=\frac{1}{2}(∠BOC-∠AOB)=\frac{1}{2}∠AOC

结论：有公共部分时，双角平分线夹角等于两角差的一半。

二、练习

1、如图所示，OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°．
（1）若∠BOC=40°，求∠EOD的度数；
（2）若∠AOB+∠BOC=x°，直接写出用含x的式子表示∠EOD的度数．

解：（1）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOC=40°，
∴∠BOE=\frac{1}{2}∠AOB=45°，∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=20°，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=45°+20°=65°；
（2）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB+∠BOC=x°，
∴∠BOE=\frac{1}{2}∠AOB，∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=\frac{1}{2}（∠AOB+∠BOC）=\frac{1}{2}x°．

2、如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，则∠EOF是__度．

解：∵∠AOB=110°，∠COD=70°，
∴∠AOC+∠BOD=110°-70°=40°，
∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，
∴∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF=∠AOC+∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF=40°，
∴∠EOF=∠AOB+∠AOE+∠BOF=110°+40°=150°．

3、如图所示，OB，OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，试用α，β表示∠AOD．

解：∵∠MON=α，∠BOC=β，
∴∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=α-β，
由角平分线得：2（∠BOM+∠CON）=∠AOB+∠COD，
∴∠AOD=2（α-β）+β=2α-β．