初中生应掌握的多种求三角形面积方法

xiaohai 2023-11-15 09:44:15 共3458人围观 标签： 数学 
简介我们在日常的学习中很多时候求三角形的面积都是通过定义法：底乘高的一半来计算，其实三角形的面积求法有多种，本文就主要介绍初中生应该掌握的多种求三角形面积的方法.

求三角形的面积最常规的方法就是我们小学学过的“底乘高的一半”来计算，其实在初中数学中，我们见到多种求三角形面积的方法，本文主要对这些求三角形面积的方法进行归纳汇总。

一、定义法(常用公式)

三角形面积计算公式为三角形底与高乘积的一半，即：
S=（底×高）÷2=12×底×高。
image.png
这里的“底”可以为三角形三条边中的任意一条边，而高则是顶点到底边的距离。

注意：利用该公式需要知道底边的长和高的长度方可计算。

二、“两边夹一角”形式的三角形面积公式

设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c，三角形ABC的面积为S，则
（1）S=12absinC；
（2）S=12acsinB；
（3）S=12bcsinA。
image.png
即：面积等于任意两边与其夹角正弦的积一半。

注意：利用该公式需要有两边的长度和这两边夹角的正弦值。

三、海伦－秦九韶公式

设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c，三角形ABC的面积为S，则
S=p(p−a)(p−b)(p−c)
其中p等于三角形周长的一半。即p=12(a+b+c)。

注意：当我们知道三角形三边的长，就可以使用该公式计算面积。但是对于如直角三角形、等边三角形等一些计算面积的三角形，利用此公式计算会较复杂。

四、三角形周长和内切圆半径求三角形面积公式

设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c，三角形内切圆的半径为r，三角形ABC的面积为S，则：
S=12(a+b+c)r.
三角形的面积等于“三角形周长与内切圆半径乘积的一半”.
image.png
注意：利用该公式要知道三角形内切圆的半径和三角形的周长（或三边的长）.

五、割补法（在平面直角坐标系中）

在平面直角坐标系中，如果三角形的三边都不在坐标轴或平行于坐标轴时，我们就可以采用“割补法”来计算三角形的面积，如图：
图片alt#841px #520px

六、铅垂法（二次函数中）

如图1
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过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫做△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫做△ABC的“铅垂高”(h)，从而得出三角形的面积的计算方法：
S=12ah
即：三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

七、相似三角形求面积

若△ABC与△CDE相似，且△ABC与△CDE的边长之比为k，那么它们的面积之比为k2。即：
S△ABC：S△CDE=k2
因此，只要知道两个相似三角形的相似比，就可以求两个三角形的面积之比。或知道两个相似三角形的相似比和一个三角形的面积，即可求另一个三角形的面积。

八、等边三角形的面积公式（仅仅适用等边三角形）

设等边△ABC的边长为a，三角形的面积为S，则：
S=34a2.

注意：该公式仅仅只用于等边三角形。

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