初中生应掌握的多种求三角形面积方法

xiaohai 2023-11-15 09:44:15 1603人围观 标签: 数学 
简介我们在日常的学习中很多时候求三角形的面积都是通过定义法:底乘高的一半来计算,其实三角形的面积求法有多种,本文就主要介绍初中生应该掌握的多种求三角形面积的方法.

求三角形的面积最常规的方法就是我们小学学过的“底乘高的一半”来计算,其实在初中数学中,我们见到多种求三角形面积的方法,本文主要对这些求三角形面积的方法进行归纳汇总。

一、定义法(常用公式)

三角形面积计算公式为三角形底与高乘积的一半,即:
S=(底×高)÷2=12×底×高。
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这里的“底”可以为三角形三条边中的任意一条边,而高则是顶点到底边的距离。

注意:利用该公式需要知道底边的长和高的长度方可计算。

二、“两边夹一角”形式的三角形面积公式

设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为abc,三角形ABC的面积为S,则
(1)S=12absinC
(2)S=12acsinB
(3)S=12bcsinA
image.png
即:面积等于任意两边与其夹角正弦的积一半。

注意:利用该公式需要有两边的长度和这两边夹角的正弦值。

三、海伦-秦九韶公式

设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为abc,三角形ABC的面积为S,则
S=p(pa)(pb)(pc)
其中p等于三角形周长的一半。即p=12(a+b+c)

注意:当我们知道三角形三边的长,就可以使用该公式计算面积。但是对于如直角三角形、等边三角形等一些计算面积的三角形,利用此公式计算会较复杂。

四、三角形周长和内切圆半径求三角形面积公式

设三角形ABC三个角A、B、C的对边分别为abc,三角形内切圆的半径为r,三角形ABC的面积为S,则:
S=12(a+b+c)r.
三角形的面积等于“三角形周长与内切圆半径乘积的一半”.
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注意:利用该公式要知道三角形内切圆的半径和三角形的周长(或三边的长).

五、割补法(在平面直角坐标系中)

在平面直角坐标系中,如果三角形的三边都不在坐标轴或平行于坐标轴时,我们就可以采用“割补法”来计算三角形的面积,如图:
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六、铅垂法(二次函数中)

如图1
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过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫做△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫做△ABC的“铅垂高”(h),从而得出三角形的面积的计算方法:
S=12ah
即:三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

七、相似三角形求面积

若△ABC与△CDE相似,且△ABC与△CDE的边长之比为k,那么它们的面积之比为k2。即:
SABCSCDE=k2
因此,只要知道两个相似三角形的相似比,就可以求两个三角形的面积之比。或知道两个相似三角形的相似比和一个三角形的面积,即可求另一个三角形的面积。

八、等边三角形的面积公式(仅仅适用等边三角形)

设等边△ABC的边长为a,三角形的面积为S,则:
S=34a2.

注意:该公式仅仅只用于等边三角形。