学习了平面直角坐标系，本文我们开始介绍在平面直角坐标系中的三角形面积的求法。在阅读本文内容前，希望大家先看看《初中数学：平面坐标系中的距离》这篇文章，必须要先掌握平面直角坐标系中两点间的距离。下面开始进入正题。

一、求三角形的面积

1. 有一边在坐标轴上的三角形

例1、如图，在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A(-3,0),B(0,3),C(0,-1)，求三角形ABC的面积.

【分析】根据三个顶点的坐标可以看出，B、C两点都在y轴上，故直接可以得出BC的长度，A点到BC边的距离就是A点到y轴的距离，故A点的横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解即可。

解：∵ B(0，3)，C(0，-1)
∴ BC=3-(-1)=4
∵ A(-3，0)
∴ A点到y轴的距离为AO=3
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AO=\frac{1}{2}\times 4\times 3=6$.

2. 有一边与坐标轴平行的三角形

例2、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)，求三角形ABC的面积.

【分析】根据三个顶点坐标可以看出，A、B两点的横坐标相同，则AB平行于y轴，则AB的的距离为5，点C到AB的距离通过点C作AB的垂线，和容易得出点C到AB的距离为3，利用三角形面积公式求解即可。

解：∵ A(-1，5)，B(-1，0)
∴ A、B两点的横坐标相同
∴ AB//y轴
∴ AB=5
∵ C(-4，3)
∴ C点到AB的距离为3
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 5\times 3=\frac{15}{2}$.

3、三边均既不在坐标轴上也不平行于坐标轴

例3、如图，△AOB中，A，B两点的坐标分别为(2，4)、(6，2)，求△AOB的面积．

【分析】对于这种三边均既不在坐标轴上也不平行于坐标轴我们采用“割补法”来求三角形面积。
“补”：将三角形补成一个长方形或梯形，方法就是过三个顶点作坐标轴的平行线，先计算出长方形或梯形的面积，然后再减去多余的三角形面积。
“割”：找到三角形某边的整数点坐标，将这个点与另外的一个点连接起来，刚好这个线段平行于坐标轴，则将这个三角形分成两个三角形，将两个三角形的面积相加即可求解。“割”也不一定只能分成两个，多个也可以，但是要便于计算。

解：方法一（补）：
如图，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线CE、CF交点为C，垂足分别为E、F，

∵ A(2，4)、B(6，2)
∴ OE=AC=4，EA=CB=BF=2，OF=6，
∴S_{长方形ECFO}=6×4=24
S_△AOE= $\frac{1}{2}$ ×4×2=4
S_△ACB= $\frac{1}{2}$ ×4×2=4
S_△BOF=$\frac{1}{2}$×6×2=6
∴S_△AOB=S_ECFO-S_△AOE-S_△ACB-S_△BOF
=24-4-4-6
=10
∴ △AOB的面积是10．

方法二（割）：
如图：作BC//x轴交AC于点C，

∴ 点C坐标为(1，2)
∵ B(6，2)
∴ BC=5
∴ S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×2=5，S_△OBC=$\frac{1}{2}$×5×2=5
∴ S_△ABO=S_△ABC+S_△OBC=5+5=10

注意：这样作辅助线是因为通过分析，刚好C点是整数点坐标，并且BC平行于x轴。如果过点A作y轴的平行线，则与OB相交的点不是整数点，就不能计算。

二、练习

1、如图,三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC的面积.

2、三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(4，5)，C(-1，2)，求三角形ABC的面积．

3、如图,平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,-1),B(1,3),C(2,-3).求△ABC的面积.

【答案】
1、解：∵A(4，0)，B(-2，0)，
∴ AB=4-(-2)=6.
∵C(2，4)，
∴C点到x轴的距离，即AB边上的高为4，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$.

2、解：∵A，B两点的横坐标相同，
∴边AB∥y轴，∴AB=5-1=4.
作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，
∴CD=4-(-1)=5，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 4\times 5=10$.

3、解：如图，分别过B、C作y轴的垂线，再分别过A、C作x轴的垂线，组成矩形EFCR，

∵ A(-3,-1),B(1,3),C(2,-3)
∴ EH=FQ=3,EM=BN=3,FM=CN=3,RH=CQ=2,AM=1
∴ EM=3+1=4，BE=3+1=4，BR=2-1=1，RC=3+3=6，CF=2+3=5
∴ S_△ABC=S_矩形EFCR-S_△BEA-S_△AFC-S_△BRC
=6×5-$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×2×5-$\frac{1}{2}$×6×1
=30-8-5-3
=14

在平面直角坐标系中求三角形的面积特别要注意三边既不平行于坐标轴也不在坐标轴上的三角形，一定要掌握好“割补法”，特别是“割”的用法，一定要注意。