定弦定角：线段定，角度大小定。

一、模型分析

若线段AB的长度，及所对的∠ACB的大小不变，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆.
1、当∠C< 90°时，点C在如图所示优弧ACB上运动（不与A、B）重合，则：∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB

2、当∠C = 90°时，点C在如图所示的⊙O上运动（不与A、B）重合，则弦AB为⊙O的直径

3、当∠C>90°是，点C在如图所示的劣弧AB上运动（不与A、B重合），则：\frac{1}{2}∠AOB+∠ACB=180°

二、定角是特殊角结论

1、如图，AB定长，P动点，保持∠APB=30°（∠APB=150°），则点P在以AB为边构造的等边△ABC或ABC’的顶点C或C’为圆心的圆弧上运动（不包含A，B两点）.

2、如图，AB定长，P动点，保持∠APB=45°（∠APB=135°），则点P在以AB为底，以\frac{\sqrt{2}}{2}AB为腰构造的等腰直角三角形△ABC或ABC’的顶点C或C’为圆心的圆弧上运动（不包含A，B两点）.

3、如图，AB定长，P动点，保持∠APB=60°（∠APB=120°），则点P在以AB为底，以\frac{\sqrt{3}}{3}AB为腰构造的等腰直角三角形△ABC或ABC’的顶点C或C’为圆心的圆弧上运动（不包含A，B两点）.

三、解题技巧

题中如果出现线段定长，所对的角也恒定，那么就考虑是否能构造隐圆。一般圆形中求一个定点到一动点线段的长度的最小值问题一般涉及定弦定角问题。
定弦定角解题步骤：
1、观察动点的运动轨迹是否在一段弧上；
2、找不变的张角；
3、找张角所对的弦，根据三点确定隐圆，确定圆心的位置；
4、计算隐圆的半径；
5、求圆心与所求线段上定点的距离；
5、最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径。

四、例题

1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一动点，且AE⊥BE，求线段CE的最小值。

【分析】∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，不管E点如何运动，该角是定角，AB线段是不变，所以就有隐圆，构造隐圆，即可解题。
解：∵ AE⊥BE
∴ 点E是在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O圆点E’，如图

∴ 当点E在E’处时，线段CE有最小值
∵ AB=4
∴ AO=BO=OE’=2,
∵ BC=6
∴ OC=\sqrt{BC^2+OB^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}
∴ CE’=OC-OE’=2\sqrt{10}-2
故CE的最小值为2\sqrt{10}-2.
2、如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DH⊥AC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，求BH的最小值。

解：∵ DH⊥AC
∴ 点H在以AD为直径的半圆上运动，圆心为AD的中点，取为M，连接BD、HM、BM，如图

∴ 当M、B、H三点共线时，BH值最小
∵ AB为直径
∴ ∠ADB=90°，BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=2\sqrt{21},
BM=\sqrt{BD^2+DM^2}=2\sqrt{22},
MH=\frac{1}{2}AD=2
∴ BH=BM-MH=2\sqrt{22}-2
∴ BH的最小值为：2\sqrt{22}-2.
3、在平面直角坐标系中，A(-3,0)，B(3,0)，C(3,4)，点P为任意一点，已知AP⊥PB，求线段PC的最大值。
解：∵ AP⊥PB
∴ 点P在以O为圆心，AB为直径的圆上（不包含A、B两点），连接OC、OP、PC，如图

在△COP中，CP≤OP+OC
所以当P、O、C在同一直线上，且点P在CO的延长线上是，CP有最大值，为OP+OC的长。
∵ A(-3,0)，B(3,0)，C(3,4)
∴ AB=6，OC=5，OP=\frac{1}{2}AB=3
所以线段PC的最大值为OP+OC=3+5=8.
4、如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=2\sqrt{3}，D点是△ABC所在平面内一个动点，且∠BDC=60°，求△DBC的面积的最大值。
【分析】因为D是△ABC所在平面上一个动点，且∠BDC=60°，所以D点的轨迹一定是一个圆弧，根据题意，可以计算出∠BAC=120°，所以圆心为A点。所以当D点运动到弦BC所对优弧的中点处时，面积最大。
解：如图，作AH⊥BC于H，

∵ AB=AC=2，BC=2\sqrt{3}
∴ BH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}
∴ AH=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1
∴ ∠ABC=∠ACB=30°，∠BAC=120°
∵ ∠BDC=60°，∠BAC=120°
∴ D点是在以A为圆心，AB为半径作⊙A，延迟HA交⊙A与点D
∴ 当点D运动到弦BC所对的优弧的中点位置时，△DBC的面积最大
∴ DH的最大值为：DA+AH=1+2=3
∴ S△DBC的最大值为：\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}.
5、已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，求PD的最小值。

解：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB=BC=2，∠ABE=∠BCF=90°
∵ BE=CF
∴ △ABE≌△BCF
∴ ∠AEB=∠BFC
∵ ∠FBC+∠BFC=90°
∴ ∠FBC+∠AEB=90°
∴ ∠PBE+∠PEB=90°
∴ ∠BPE=∠APF=90°
∴ P点的运动轨迹为以AB为直径的半圆上，如图所示

∵ E、F分别是BC、CD上动点
∴ 当E点到达C点，F点到达D点时，PD有最小值
在Rt△BCD中，BC=CD=2
∴ DB=\sqrt{2}BC=2\sqrt{2}
∴ PD=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}
6、如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P是△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，求线段PB的最小值。

解：∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠CAB=60°，AC=AB=2
∵ ∠PAB=∠ACP，∠CAP+∠PAB=60°
∴ ∠ACP+∠CAP=60°
∴ ∠APC=120°
∴ 点P是在以AC为弦所对的圆弧上运动，设OB交AC于点D，如图所示

当圆O、P、B三点共线时，PB长度最小，此时PA=PC，OB⊥AC
∴ AD=CD=\frac{1}{2}AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=30°
∴ BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3}
设DP=x，则AP=2x，在Rt△APD中
AP^2=AD^2+DP^2
∴(2x)^2=x^2+1^2
解得：x=\frac{\sqrt{3}}{3}
∴ PD=\frac{\sqrt{3}}{3}
∴ PB=BD-PD=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.