一、提出问题

如图，在底面直径BC为2、母线长为3的圆锥中，点D在母线AB上，且AD=1，一只蚂蚁从C点出发沿侧面爬行到D处，问蚂蚁爬行的最短路径长为多少？

二、问题分析与解题方法

圆锥的侧面是一个曲面，不是平面。但是我们知道，圆锥的侧面可以进行展开，沿着母线展开后圆锥的侧面是一个扇形。如图：

扇形上求解两点之间最短路径就很容易，利用两点之间线段最短的原理求解即可。

三、解决问题

上面问题中，蚂蚁从C处爬到D处，BC又是直径，所以我们可以将圆锥的侧面从母线AB处进行展开，连接CD，如图：

CD即为所求最短路径。
解：将圆锥展开，连接CD，如上图，
由题意知，底面圆的直径为2，则半径为1，母线长为3
∴ 底面圆的周长为：2π
设展开后扇形的圆心角为α，根据底面圆的周长等于扇形的弧长得：
\frac{α·π·3}{180}=2π
解得：α=120°
∴ ∠BAB’=120°
∴ ∠BAC=60°
作DE⊥AC，垂足为E
∵ AD=1，∠BAC=60°
∴ ∠ADE=30°，AE=\frac{1}{2}
∴ DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
∴ EC=AC-AE=\frac{5}{2}
在Rt△CDE中，由勾股定理得:
CD=\sqrt{EC^2+DE^2}=\sqrt{7}
∴ 蚂蚁爬行的最短路径长为\sqrt{7}.

四、练习

1、一个圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，求小虫爬行的最短路线的长．

2、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，求蚂蚁爬行的最短路程。

3、如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若一只蚂蚁P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求蚂蚁爬行的最短距离.

答案：
1、解：小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，如图：

∵l=2πr=\frac{nπr}{180}
∴扇形的圆心角=\frac{2πr}{2π·OA}=90°
由勾股定理求得它的弦长是：\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}.

2、解：由题意知，底面圆周长为：4π.
将圆锥的侧面展开后如图，设扇形的圆心角为n°，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得：
4π=\frac{nπ·6}{180}
解得：n=120°
∴ ∠APD=60°
∵PA=PB，∠APB=60°
∴ △PAB是等边三角形
∵ D是PB边的中点
∴ AD⊥PB
∴ PD=3
在Rt△PAD中，根据勾股定理得：
AD=\sqrt{PA^2-PD^2}=3\sqrt{3}
所以蚂蚁爬行的最短距离为3\sqrt{3}.

3、解：由圆锥的侧面展开图是一扇形，如图所示；

设扇形的圆心角为n°
∵ 底面圆直径AB为2，母线长SA为4
∴ 底面圆的周长为2π
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得：
2π=\frac{nπ·4}{180}
解得n=90°
从点P到SA的中点C的距离为PC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}
故蚂蚁爬行的最短距离为2\sqrt{5}.

五、小结

解决圆锥侧面最短路径问题，主要就是将侧面进行展开，转化为展开面两点连线的最短长度来进行解决。