圆锥最短路径问题

xiaohai 2023-12-03 15:20:14 1492人围观 标签: 初中数学 
简介解决圆锥侧面最短路径问题,主要就是将侧面进行展开,转化为展开面两点连线的最短长度来进行解决。
一、提出问题

如图,在底面直径BC为2、母线长为3的圆锥中,点D在母线AB上,且AD=1,一只蚂蚁从C点出发沿侧面爬行到D处,问蚂蚁爬行的最短路径长为多少?
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二、问题分析与解题方法

圆锥的侧面是一个曲面,不是平面。但是我们知道,圆锥的侧面可以进行展开,沿着母线展开后圆锥的侧面是一个扇形。如图:
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扇形上求解两点之间最短路径就很容易,利用两点之间线段最短的原理求解即可。

三、解决问题

上面问题中,蚂蚁从C处爬到D处,BC又是直径,所以我们可以将圆锥的侧面从母线AB处进行展开,连接CD,如图:
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CD即为所求最短路径。
解:将圆锥展开,连接CD,如上图,
由题意知,底面圆的直径为2,则半径为1,母线长为3
∴ 底面圆的周长为:2π
设展开后扇形的圆心角为α,根据底面圆的周长等于扇形的弧长得:
\frac{α·π·3}{180}=2π
解得:α=120°
∴ ∠BAB’=120°
∴ ∠BAC=60°
作DE⊥AC,垂足为E
∵ AD=1,∠BAC=60°
∴ ∠ADE=30°,AE=\frac{1}{2}
DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
∴ EC=AC-AE=\frac{5}{2}
在Rt△CDE中,由勾股定理得:
CD=\sqrt{EC^2+DE^2}=\sqrt{7}
∴ 蚂蚁爬行的最短路径长为\sqrt{7}.

四、练习

1、一个圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=2,若一只小蚂蚁从A点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,求小虫爬行的最短路线的长.
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2、如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,求蚂蚁爬行的最短路程。
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3、如图,圆锥的底面圆直径AB为2,母线长SA为4,若一只蚂蚁P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C,求蚂蚁爬行的最短距离.
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答案:
1、解:小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长,如图:
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l=2πr=\frac{nπr}{180}
∴扇形的圆心角=\frac{2πr}{2π·OA}=90°
由勾股定理求得它的弦长是:\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}.

2、解:由题意知,底面圆周长为:4π.
将圆锥的侧面展开后如图,设扇形的圆心角为n°,
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根据底面周长等于展开后扇形的弧长得:
4π=\frac{nπ·6}{180}
解得:n=120°
∴ ∠APD=60°
∵PA=PB,∠APB=60°
∴ △PAB是等边三角形
∵ D是PB边的中点
∴ AD⊥PB
∴ PD=3
在Rt△PAD中,根据勾股定理得:
AD=\sqrt{PA^2-PD^2}=3\sqrt{3}
所以蚂蚁爬行的最短距离为3\sqrt{3}.

3、解:由圆锥的侧面展开图是一扇形,如图所示;
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设扇形的圆心角为n°
∵ 底面圆直径AB为2,母线长SA为4
∴ 底面圆的周长为
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得:
2π=\frac{nπ·4}{180}
解得n=90°
从点P到SA的中点C的距离为PC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}
故蚂蚁爬行的最短距离为2\sqrt{5}.

五、小结

解决圆锥侧面最短路径问题,主要就是将侧面进行展开,转化为展开面两点连线的最短长度来进行解决。