一、费马点的由来

费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，数学只是兼职搞搞。

费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.

据说费马在提出“费马大定理”时，是他在给另一位数学家欧拉的信中提出来的，他写道:“我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧”

结果这个问题困扰了数学界300多年，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年。

果然，数学搞得好的都是装x的一把好手。

在书信中提问题，似乎是费马通信的一贯作风，在一封写给意大利物理学家兼数学家托里拆利的信件中，费马提出了关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小.

请求托里拆利帮忙解答(其实费马自己已经证明了,就是想为难一下托里拆利)这当然难不倒另外一个业余数学家，托里拆利成功地解决了费马的问题。

所以说，今天的费马点问题不是费马解决的，而是他提出来，故而叫费马点，也叫托里拆利点。

二、中考“费马点”

费马点在最新教材中已不再提及，数学老师通常在课堂上作为拓展知识来讲解，但正是由于是拓展知识，很多学生不会太重视，甚至当初耳边风。
10年前的中考题里，考察这一知识点的情况比较常见。近年来，为了给学生减负，费马点问题不再作为考试大纲的考点。但是，有时候还是会以探索类的题型出现，就是换着花样来考。因此，为了在残酷的竞争中取得优势，我们仍然要把它作为一个重要的知识点加以掌握。

三、费马点的两种情况

1、如果三角形的三个内角均小于120度，费马点是对各边的张角都是120度的点。

可以看出，费马点P就是以三角形三边为边长向外做的3个等边三角形的外顶点和ABC三点连线的交点。
2、如果有一个角大于或等于120度的三角形，费马点就是这个钝角的顶点。

四、费马点的证明

P为△ABC内任一点，请找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

1、三个内角均小于120°的情形

证明：如图，把△ABP绕B点逆时针旋转60°得到$$A′BP′，连接PP′，
则：△BPA≌△BP′A′
∴ PB=P′B，PA=P′A′，△BP′P为等边三角形，PB=PP′
∴ PA+PB+PC=P′A′+PP′+PC
∴ 当C、P、P′、A′四点共线时，PA+PB+PC为最小值
当C、P、P′共线时
∵ ∠BPP′=60°
∴ ∠BPC=120°
同理：当P、P′、A′共线时
∵ ∠BP′P=60°
∴ ∠A′P′B=120°
∴ ∠BPA=120°
∴ P点为满足∠BPC=∠BPA=∠APC=120°的点，即为费马点。

2、有一个内角均大于或等于120°的情形

证明：如图，把△APC旋转到△AP′C′，使得B、A、C′三点在同一条直线上
∴ △APC≌△AP′C′，AP=AP′
∵ ∠BAC≥120°
∴ ∠PAP′=180°-∠BAP-C′AP′=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴ AP≥PP′
∴ PA+PB+PC≥PP′+PB+PC′＞BC′=AB+AC
∴ A点为费马点

可以看出两种情况下的费马点证明都是依据旋转思想，构造三角形全等，然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。

例1、如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值.

解：如图，将△ABP绕B点逆时针旋转60°，得到△DBE

∴ △ABP≌△DBE，连接EP
∴ ∠ABP=∠DBE，BD=AB=4
∵ ∠PBE=∠ABD=60°，BE=PE，AP=DE，
∴ △BPE是等边三角形
∴ EP=BP
∴ PA+PB+PC=DE+EP+PC≥CD
∴ 当D、E、P、C四点共线时，PA+PB+PC有最小值CD
∵ ∠ABC=30°
∴ ∠DBC=∠ABD+∠ABC=90°
∴ CD=\sqrt{BD^2+BC^2}=\sqrt{41}

例2、如图，等腰Rt△ABC，直角边AB=4，点P为△ABC内部一点，求AP+BP+CP的最小值。

解：如图，将△ABP绕B点逆时针旋转60°，得到△A′BP′，连接PP′，A′C

∴ △ABP≌△A′BP′，AP=A′P′，BP=BP′，∠PBP′=60°
∴ △BPP′为等边三角形
∴ PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC≥A′C
∴ 当A′、P′、P、C四点共线时，PA+PB+PC的值最小
过A′作A′D⊥CB延长线于点D，如图

∵ ∠ABC=90°，∠P′BP=60°
∴ ∠DBA′=30°
∵ A′B=AB=4
∴ A′D=2
∴ DB=\sqrt{A′B^2-A′D^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}
∴ DC=DB+BC=2\sqrt{3}+4
∴ A′C=\sqrt{A′D^2+DC^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}+4)^2}=2\sqrt{2}+2\sqrt{6}

练习1、如图，在Rt△ABC中，AB=4, AC=8, 点P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.

练习2、如图，已知，在△ABC中，∠ACB=30°，当AC=4，AB=\sqrt{7}(CB>CA)，点P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.

练习3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=\sqrt{3}，点O为△ABC内一点，连接AO，BO，CO，若∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值.

练习4、如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P.
① 请在图中画出是PA+PB+PC最小的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）
② 若菱形的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.

练习5、已知三村庄A、B、C构成如图所示△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管道长度最小，求输水管总长度的最小值.

练习6、问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是多少？

练习7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

练习8、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值

练习9、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为\sqrt{3}+1时，求正方形的边长．