四点共圆：若在同一个平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称“四点共圆”.

一、模型1：定点定长共圆模型（圆的定义）

若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．

例1、如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，求∠ADC的度数.

解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，

∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°。
例2、如图，四边形ABCD中，DA=DB=DC，∠BDC=72°，求∠BAC的度数.

解：如图，∵DA=DB=DC，

∴ A、B、C在以点D为圆心的圆上
∴ ∠BAC=\frac{1}{2}∠BDC=36°.

二、模型2：对角互补共圆模型

若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．
如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

例1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°．求证：BC=CD．

解：∵ ∠B+∠D=180°
∴ A、B、C、D四点共圆。
∵ AC平分∠BAD
∴ ∠DAC=∠CAB
∴ BC=CD

三、定边对双直角共圆模型

1、定边对双直角模型（同侧型）
若平面上A、B、C、D四点满足∠ABC=∠ACD=90°，则：A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.
2、定边对双直角模型（同侧型）
若平面上A、B、C、D四点满足∠ABC=∠ADC=90°，则：A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.
例1、如图，四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥BD于点D，若BD=2，CD=4\sqrt{2}，求线段AB的长.

解：∵ ∠ACB=90°，AD⊥BD
∴ A、B、D、C四点共圆，且AB为直径
作CF⊥CD，交AD于点F，AD与CB交于点E，如图所示

∵ ∠ABC=45°
∴ ∠ADC=45°，△CFD是等腰直角三角形
∴ FD=\sqrt{2}CD=8
∵ CD⊥CF
∴ CF=CD
∵ ∠CAF=∠CBD，AC=BC
∴ △AFC≌△CBD
∴ AF=BD=2
∴ AD=AF+FD=2+8=10
∴ AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{10^2+2^2}=2\sqrt{26}

例2、如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC上一点，连接AD。作BE⊥AD延长线与点E，连接CE，求证：∠AEC=45°.

证明：∵ 等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴ AC=BC，∠ABC=∠CAB=45°
∵ BE⊥AD，∴ ∠AEB=90°
∵ ∠AEB=∠ACB
∴ A、B、E、C四点共圆
∴ ∠AEC=∠ABC=45°.

四、模型4：定弦定角共圆模型

若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。
如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

例1、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，点D在线段BC上，四边形ADEF是正方形，连接FC，求证：FC⊥BC.

证明：如图，连接DF

∵ 四边形ADEF是正方形
∴ ∠AFD=45°
∵ △ABC是等腰直角三角形
∴ ∠ACB=45°
∴ ∠AFD=∠ACB
∴ A、D、C、F四点共圆
∵ ∠FAD=90°，∠FAD+∠DCF=180°
∴ ∠FCD=90
∴ FC⊥BC.

例2、如图，在Rt△ABC中，∠BAD=90°，∠ABC=40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上.
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A、D、B、E四点共圆.

解：（1）∵ Rt△ABC中，∠BAD=90°，∠ABC=40°
∴ ∠C=50°
∵ 将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上
∴ AD=AC
∴ ∠ADC=∠C=50°
∴ ∠ADC=∠ABC+∠BAD=50°
∴ ∠BAD=50°-40°=10°.
证明：（2）∵ 将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE
∴ ∠AED=∠ABC
∴ A、D、B、E四点共圆.