一、圆

1、圆的定义
（1）圆的动态性（描述性）定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。
注意：
（1）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，圆心定位置；而是半径，半径定其大小。
（2）圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”而不能认为是“圆面”。
（3）“圆上的点”指圆周上的点。
2、圆的表示法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
3、圆的特性
（1）同圆的半径相等；
（2）到圆心的距离等于半径的点在圆上。

二、圆的有关概念

2.1、弦和直径

1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；
2、直径：经过圆心的弦叫做直径；
注意： 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。

2.2、弧、半圆、劣弧、优弧

1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；
2、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
3、劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；
4、大于半圆的弧叫做优弧
注意： 弧有无数条，弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆是弧，半圆既不是优弧也不是劣弧，但弧不一定是半圆；每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条。

2.3、等圆

能够重合的两个圆叫做等圆。（半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等）
注意：等圆只和半径的大小有关，与圆心的位置无关

2.4、等弧

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等。

三、圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
（1）圆的对称轴有无数条；
（2）“圆的对称轴是直径所在直线”或“圆的对称轴是经过圆心的直线”

注意：对称轴是直线，所以不能说圆的对称轴是直径，因为直径是线段。

四、垂径定理

1、垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧。
2、几何语言
如图：
CD⊥AB于点M，CD是⊙O的直径，那么用几何语言可表述为：
CD是直径，CD⊥AB，则有：
（1）$AM=BM$
（2）$\stackrel{⌢}{AD}=\stackrel{⌢}{BD}$
（3）$\stackrel{⌢}{AC}=\stackrel{⌢}{BC}$

五、垂径定理的推论

1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2、几何语言
如图：
CD是⊙O的直径，AB是弦（非直径），AB与CD相交于点M，且AM=BM，那么CD垂直于AB，并且，$\stackrel{⌢}{AD}=\stackrel{⌢}{BD}$，$\stackrel{⌢}{AC}=\stackrel{⌢}{BC}$

那么用几何语言可表述为：
CD是直径，AM=BM，AB不是直径，则有：
（1）$CD\perp AB$
（2）$\stackrel{⌢}{AD}=\stackrel{⌢}{BD}$
（3）$\stackrel{⌢}{AC}=\stackrel{⌢}{BC}$

六、弧、弦、圆心角之间的关系定理

1、定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
2、弧、弦、圆心角之间的关系
如图：

若：∠AOB=∠A′OB′，则$\stackrel{⌢}{AB}=\stackrel{⌢}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$，AB=A′B′.

七、弧、弦、圆心角之间的关系定理的推论

1、推论
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧分别相等。
2、弦和弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系
在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等。

注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。

八、圆的旋转不变性、圆心角

1、圆的旋转不变性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
2、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一条弧所对的圆心角只有一个。
3、圆心角的条件：(1)顶点在圆心上；(2)两条边和圆相交.

九、圆周角

（一）圆周角

1、圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2、圆周角必须满足的两个条件
（1）顶点在圆上；
（2）两边都与圆相交。
3、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
注意：这里的圆周角和圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，不能把同一条弧这个前提省略。

（二）圆周角的推论

1、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
注意：这里“同弧或等弧”不能是“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角或劣弧上的圆周角.
2、推论2：
（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径。
3、“五量关系”定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

（三）圆内接多边形

1、圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
2、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补。
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.

十、点和圆的位置关系

设⊙O的半径为$r$，点P到圆心的距离OP=$d$，则有：
① 点在圆外：点到圆心的距离大于半径，点P到圆外<=>$d>r$；
② 点在圆上：点到圆心的距离等于半径，点P到圆上<=>$d=r$；
③ 点在圆内：点到圆心的距离小于半径，点P到圆上<=>$d<r$；
注意：
（1）符号“<=>”读作“等价于”，它表示从符号“<=>”的左端可以推出右端，从右端可以推出左端，即左右两端互为因果关系.
（2）一个圆将平面分为三个部分：① 圆的外部；② 圆上；③ 圆的内部.

十一、三角形的外接圆

1、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做⊙O。“接”是指三角形的三个顶点都在圆上。
2、三角形的外心
（1）定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心；
（2）性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。
3、三角形外接圆的作法
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2）以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可。

十二、反证法

1、定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。
2、步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立。

十三、确定圆的条件

（一）过已知点作圆

（1）过一点A作圆
以点A以外的任意一点为圆心，以该点与点A的距离为半径作圆，可以作无数个圆；
（2）过两点A，B作圆
连接AB，作线段AB的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A（或点B）的距离为半径作圆，可以作无数个圆；
（3）过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，连接AB，AC，分别作线段AB，AC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交与点O，以O为圆心，以OA（或OB、OC）为半径作圆，⊙O就是所求作的圆，那么这种情况只能做一个圆。
（4）过不在同一条直线上的任意四点作圆的方法
要相过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则，第四个点不在圆上。

（二）确定一个圆的条件

（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；
（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

十四、直线和圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交

（1）相离：无公共点，$d>r$，$d>r$<=>直线$l$与⊙O相离；
（2）相切：1个公共点，公共点名称为切点，直线名称为切线，$d=r$，$d=r$<=>直线$l$与⊙O相切；
（3）相交：2个公共点，公共点名称为交点，直线名称为割线，$d<r$，$d<r$<=>直线$l$与⊙O相交。

注意：
如果一条直线满足下面三个条件中的任意两个，那么第三个条件也成立：
（1）过圆心；
（2）过切点；
（3）垂直于切线.

十五、切线的判定定理

1、判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线必须具备的两个条件
（1）直线过半径的外端；
（2）直径垂直于这条半径。
3、判定方法
（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
（2）数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理法：经过半径的外端并垂直于这条半径的直线是圆的切线。

十六、切线的性质定理

1、性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
2、切线的性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）圆心到切线的距离等于半径；
（3）圆的切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点（找切点用）；
（5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心（找圆心用）.

十七、切线长定理

1、切线长定义
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点直线的线段的长，叫做这个点到圆的切线长。
注意：切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间线段的长，可以度量；

2、切线上定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
注意：经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等。

3、示例

由切线长定理可直接得出如下结论：
（1）PO⊥AB；
（2）AO⊥AP，BO⊥BP
（3）AP=BP
（4）∠APO=∠BPO=∠OAC=∠OBC；
（5）AC=BC;
（6）$\stackrel{⌢}{AD}=\stackrel{⌢}{BD}$

十八、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形。
注意：
（1）一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形；
（2）三角形的内心在三角形的内部。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；
3、三角形的内心的性质
三角形的内心到三角形三条半的距离相等，且等于其内切圆的半径。

十九、圆的内接多边形

1、圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
2、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补。
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
注意：一个圆可以有无数个内接四边形，但是不是任意四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆。

二十、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、相切（内切和外切）、相交、内含。

（一）通过圆心距与两圆半径之间的关系判断

设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。

则有以下五种关系：

1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。

3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。

4、d＜R-r 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。

5、d＜R+r 两圆相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。

（二）可用有无公共点来判断

1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

3、有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

二十一、正多边形

（一）正多边形及有关概念

1、正多边形概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；
2、圆的内接正n边形：把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆。
3、正多边形的有关概念
（1）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
（4）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
4、正多边形的对称性
（1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；
（2）当正多边形的边为偶数时，该正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

（二）正多边形的有关计算

1、n边形的内角和为：$(n-2)·180°$;
2、正n边形的每个内角都等于：$\frac{(n-2)·180°}{n}$；
3、正n边形的每个外角都等于：$\frac{360°}{n}$；
4、设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则：
（1）边长、半径、边心距之间的关系：$R^2=r^2+(\frac{a}{2}{)}^2$；
（2）周长为：$l=na$；
（3）面积为：$S=\frac{1}{2}ar·n$=$\frac{1}{2}lr$.

（三）常见正多边形边长与半径的关系

1、正六边形的边长等于外接圆的半径；
2、正三角形的边长等于外接圆半径的$\sqrt{3}$倍；
3、正方形的边长等于外接圆半径的$\sqrt{2}$倍.

（四）正多边形的画法

正n边形的画法：将圆n等分，然后顺次连接各等分点，即得到所作的正n边形。
1、用量角器等分圆
用量角器画一个$\frac{360°}{n}$的圆心角，该圆心角所对的弧就是圆的$\frac{1}{n}$，再一次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连接，就得到圆的内接正n边形。
2、用尺规等分圆
用尺规作图主要是一些特殊的正多边形，一般是正六边形、正方形，然后依次平分各边所对的弧，就能得到边数增倍的正多边形。如现做一个正方形，平分后得到正八边形，正十六边形等.

二十二、弧长公式

1、弧长公式
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：$l=\frac{n\pi R}{180}$.
注意：
（1）公式中n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，所以n和180都不带单位；
（2）如果题中没有让精确，可以使用含有“π”的式子表示弧长。

2、弧、弧长、弧的度数关系
（1）弧相等表示弧长相等，弧的度数都相等；
（2）度数相等的弧，弧长不一定相等；
（3）弧长相等的弧，弧的度数不一定相等，只有在同圆或等圆中，弧长相等才是等弧。

二十三、扇形的面积

（一）扇形

1、定义
由组成圆心的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

2、面积公式
（1）已知扇形的圆心角n°和半径R：
$S=\frac{n\pi R^2}{360}$
（2）已知弧长l和半径R：
$S=\frac{1}{2}lR$

（二）弓形

1、定义
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
2、弓形的面积
（1）当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形的面积与三角形的面积的差；
（2）当弓形的弧等于半圆时，它的面积等于半圆的面积，也等于圆面积的一半；
（3）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形的面积与三角形面积的和。

二十四、圆锥

（一）圆锥有关概念

1、圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的直角边所在直线旋转围一周所围成的图象，这条直线叫做圆锥的轴。

2、圆锥的母线
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
注意：圆锥的母线有无数条，母线长都相等。
3、圆锥的高
连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。

4、圆锥母线、高、底面圆的半径三者构成直角三角形
$B{C}^2=O{C}^2+O{B}^2$.

（二）圆锥的侧面积和全面积

沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，圆锥的侧面是一个扇形。

设圆锥的母线为l，底面圆的的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长等于底面圆的周长2πr，所以
$S_{\mathrm{侧}}=S_{\mathrm{扇}\mathrm{形}}=\frac{1}{2}\times 2\pi r\times l=\pi rl$
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=\pi rl+\pi r^2$.