一、平行四边形

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

表示方法：平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”.

二、平行四边形的性质

2.1、平行四边形的边、角性质

1、边的性质：平行四边形的对边平行且相等；
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC

2、角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°

2.2、两条平行线之间的距离

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.

区分：
1、两点之间的距离：连接两点的线段的长度；
2、点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度；
3、两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的垂线段的长度.

2.3、平行四边形的对角线的性质

1、对角线的性质： 平行四边形的对角线互相平分.
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=\frac{1}{2}AC，OB=OD=\frac{1}{2}BD.

2、其他性质：
a、平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分；
b、若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.

三、平行四边形的判定

3.1、判定定理

对边关系：

• 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
• 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
• 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

对角关系：

• 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

对角线关系：

• 对角线互相平分的四边形是平行四边形.

3.2、如何选择平行四边形的判定定理

1、已知一组对边平行，可以证明该组对边相等或证明另一组对边平行；
2、已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等；
3、已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；
4、已知条与角有关，可证明两组对角分别相等.

四、三角形的中位线

1、三角形的中位线定义：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；

2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

五、矩形

5.1、矩形的定义

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

5.2、矩形的性质：

1、边：矩形的对边平行且相等；
2、角：矩形的四个角都是直角；
3、对角线：矩形的对角线互相平分且相等；
4、对称性：矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴；
5、面积：矩形的面积等于长乘以宽，通常用S=ab表示.

5.3、矩形的判定

1、用定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2、用对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形；
3、用角判定：有三个角是直角的四边形是矩形；或四个角都相等的四边形是矩形.

六、菱形

6.1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形称为菱形。

6.2、菱形的性质

1、边：菱形的四条边都相等；
2、对角线：菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；
3、对称性：菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；菱形是中心对称图形；
4、面积：菱形的面积一般用底乘以高计算，还可以使用对角线积的一半计算.

6.3、菱形的判断

1、边：四条边都相等的四边形是菱形。
2、对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

七、正方形

7.1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square).

7.2、正方形的性质

1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等;
2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .

7.3、正方形的判定

1、有一组邻边相等的矩形是正方形

2、有一个角是直角的菱形是正方形

3、两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形

4、两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形