相似三角形是初中几何中非常重要的知识点，是中考中的常考题型，相似三角形是全等三角形的推广，全等可以理解是相似比为1的相似三角形。在相似三角形中也有一些固定的几何模型，这里我们主要讲述下相似三角形中的“A字型”和“8字型”模型。

这里先回顾下三角形相似的判定：
1、两角对应相等两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、一个三角形两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。

模型一、A字型相似

1、平行A字型

模型：在△ABC中，DE//BC，则△ADE∽△ABC.

证明：∵ DE//BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∵ ∠A=∠A
∴ △ADE∽△ABC.

既然两个三角形相似，那么就有对应边成比例，则：
\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.

（1）双A字或多A字模型
如图，在△ABC中，DE//BC.

图1中，相似三角形有：
△ADE∽△ABC，△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC
∴ DG:GE=BF:FC
图2中，相似三角形就有很多了，则有：
∴ DG:BF=GI:FH=IE:HC
当然上面的模型可以继续推广下去，同样有相应的比例关系。

（2）三角形内接矩形模型
如图，在△ABC中，四边形DEGF是内接矩形，AH⊥BC.

∵ 四边形DEGH为△ABC的内接矩形
∴ DE//BC，DF//AH//EG
∵ DE//BC
∴ △ADE∽△ABC，△ADI∽△ABH，△AIE∽△AHC
∵ DF//HI，DF⊥BC，AH⊥BC，AH⊥DE
∴ △BDF∽△DIA∽△BAH
∵ EG//AH，EG⊥BC，AH⊥BC，AH⊥DE
∴ △CEG∽△EAI∽△CAH
通过相似，找相似比，也就很容易了。

2、斜（反）A字型

如图，在△ABC中，∠B=∠AED，则△ADE∽△ABC.

3、子母型（共边共角型）

如图，，在△ABC中，∠B=∠AED，则△ADE∽△ABC.

4、共角相似

如图，已知∠B=∠D，则：△ABC∽△ADE.

模型二、8字型(X字模型)

1、平行8字型

如图，AD//BC，则△ADE∽△BCD

证明省略。该模型还可以继续推广到如下：

2、斜8字型（蝴蝶型）

如图，已知∠B=∠D，则△ABE∽△CDE.

三、例题

例1、如图，已知DE//BC，CD和BE相交于点O，S_{△DOE}:S_{△COB}=4:9，求AE：EC的值.

解：∵ DE//BC
∴ △ADE∽△ABC，△DOE∽△COB.
∵ S_{△DOE}:S_{△COB}=4:9
∴ △DOE和△COB的相似比为2：3，则：DE：BC=2:3.
∴ △ADE和△ABC的相似比也为2:3，
∴ AE：AC=2:3
∴ AE：EC=2:1

例2、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED为平行四边形，DE：BC=1:4.若AB=8，求线段AD的长.

解：∵ 四边形BFED为平行四边形
∴ DE//BF
∴ DE//BC
∴ △ADE∽△ABC
∵ DE:BC=1:4
∴ AD：AB=1:4
∵ AB=8
∴ AD=2.
例3、如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF，AD是△ABC的高.BC=8,AD=6，求EH的长.

解：∵ 四边形EFGH是矩形
∴ DH//BC
∴ △AEH∽△ABC
∵ AM，AD分别为△AEH和△ABC的高
∴ \frac{AM}{AD}=\frac{EH}{BC}
∵ DM=EF
∴ AM=AD-DM=AD-EF=6-EF
∵ EF=2EF
∴ \frac{6-EF}{6}=\frac{2EF}{8}
解得：EF=\frac{12}{5}
∴ EH=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}

例4、如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE的延长线上，且BA·BC=BD·BE.
（1）求证：△ABD∽△EBC；
（2）求证：AD^2=BD·DE.

证明：（1）∵ BA·BC=BD·BE
∴ \frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}
∵ BE平分∠ABC
∴ ∠ABD=∠EBC
∴ △ABD∽△EBC.

（2）∵ △ABD∽△EBC
∴ ∠BAD=∠BEC，∠ADB=∠BCE,
∵ ∠AED=∠BEC
∴ ∠EBC=∠DAD
∴ △ADE∽△BEC
∴ △AED∽△ABD
∴ \frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}
即：AD^2=BD·DE.

例5、如图，AD于BC交于点O，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F，BO=1，CO=3，AO=\frac{3}{2}，DO=\frac{9}{2}.
（1）求证：∠A=∠D.
（2）若AE=BE，求证：CF=DF。

证明：（1）∵BO=1，CO=3，AO=\frac{3}{2}，DO=\frac{9}{2}
∴ \frac{BO}{CO}=\frac{1}{3}，
\frac{AO}{DO}=\frac{1}{3}
∴ \frac{BO}{CO}=\frac{AO}{DO}
∵ ∠AOB=∠DOC
∴ △OAB∽△OCD
∴ ∠A=∠D.
（2）由（1）得，∠A=∠D
∴ AB//CD
∴ △OAE∽△ODF，△OBE∽△OCF
∴ \frac{AE}{FD}=\frac{AO}{OD}，\frac{EB}{CF}=\frac{BO}{CO}
由（1）知∴ \frac{BO}{CO}=\frac{AO}{DO}
∴ \frac{AE}{FD}=\frac{EB}{CF}
∵ AE=BE
∴ CF=DF.