在学完一次函数后，我们知道一次函数的一般解析式为$y=kx+b(k\ne 0)$，一次函数也被称为直线。如果两条直线平行，那么它们的k相等。本文我们主要讨论下如果两条直线垂直，那么它们的k有怎么样的关系呢？

一、证明两条互相垂直的直线k的关系

已知：一次函数$y_1=k_{1}x+b_1(k_1\ne 0)$与一次函数$y_2=k_{2}x+b_2(k_2\ne 0)$互相垂直，求证：$k_1·k_2=-1$.

证明：由题意得，$k_1·k_2<0$
这里设$k_1>0，k_2<0，b_1>0$，则两直线大致图像如下图所示：

$y_1=k_{1}x+b_1$与y轴交于点A，A点坐标为（0，$b_1$）,与x轴交于点B，B点坐标为（$-\frac{b_1}{k_1}$，0）.

将直线$y_2=k_{2}x+b_2(k_2\ne 0)$平移经过点A，则得到直线$y_3=k_{2}x+b_1(k_2\ne 0)$，（注意：平移后两直线的k相同，因为过点A，所以b=$b_1$）

则直线$y_3=k_{2}x+b_1$与x轴交于点C，C点坐标为（$-\frac{b_1}{k_2}$，0）.

∵ ∠BAC=90°
∴ ∠ABC+∠ACB=90°
∵ ∠AOB=90°
∴ ∠ABC+∠BAO=90°
∴ ∠BAO=∠ACB
∵ ∠AOB=∠AOC
∴ △AOB∽△COA
∴ $\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{AO}$，即：$A{O}^2=CO·BO$（可直接用射影定理）
∵ A（0，$b_1$），B（$-\frac{b_1}{k_1}$，0），C（$-\frac{b_1}{k_2}$，0）
∴ OA=$b_1$，OB=$|-\frac{b_1}{k_1}|=\frac{b_1}{k_1}$，OC=$-\frac{b_1}{k_2}$
代入得：
$b_1^2=\frac{b_1}{k_1}·(-\frac{b_1}{k_2})=-\frac{b_1^2}{k_1{k}_2}$
即：$k_1{k}_2=-1$

这里我只平移了一条直线，其实我们也可以将两条直线都平移经过原点，因为我们需要求证的是两条直线k的关系，所以与b就没有关系，那么平移两条直线经过原点，那么在x轴上任取一点，作x轴的垂线，与两条直线各相交一点。也可以利用相似三角形或射影定理证明即可。

该结论的证明方式有很多，可以自行研究。

二、结论

如果两条直线互相垂直，那么这两条直线k的乘积是-1。反之，如果两条直线k的乘积等于-1，那么这两条直线互相垂直。

这里逆命题也就没有证明，直接拿来用，证明跟上面提到的方法很简单。

三、拓展延伸

在初中阶段我们并没有将k代表什么，在高中我们就知道k是直线的斜率，那什么是斜率呢？

斜率，亦称"角系数"，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b(斜截式)，k即该函数图像(直线)的斜率。

简单来说：由一条直线与x轴正半轴方向所成的角的正切值。

如何理解，设直线上有$P_1$($x_1,y_1$)，$P_2$($x_2，y_2$)，且$x_1\ne x_2$，如图：

那么直线l与x轴正半轴方向的夹角为α，过$P_2$向x轴作垂线，过$P_1$向y轴作垂线，两垂线交于点Q，则Q点坐标为($x_2，y_1$).
则：$P_{2}Q=y_2-y_1$，$P_{1}Q=x_2-x_1$。
设直线l的解析式为$y=kx+b(k\ne 0)$，把$P_1$($x_1,y_1$)，$P_2$($x_2，y_2$)代入得，

$y_1=k{x}_1+b$ ①，
$y_2=k{x}_2+b$ ②，

②-①得，$y_2-y_1=k(x_2-x_1)$

∵ $x_1\ne x_2$

∴ $x_1-x_2\ne 0$

∴ $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{P_{2}Q}{P_{1}Q}=tan\alpha$

故证得：斜率等于直线与x轴正半轴方向所成的角的正切值。

这里也就得出了斜率公式，直线l上有两点$P_1$($x_1,y_1$)，$P_2$($x_2，y_2$)，且$x_1\ne x_2$则：

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

这里在补充一个高中知识点，tan的诱导公式：tan(180°-α)=-tanα，这里α取值在0°~180°。这里就不进行证明，可以自行证明。有了上面这两个拓展知识点，其实两直线垂直的斜率相乘为-1就还可以有用另一种方式进行证明。如图：

∵ ∠ACB=90°

∴ $tan{\alpha }_1=\frac{BC}{AC}$，$tan(180°-{\alpha }_2)=tan\angle CBA=\frac{AC}{BC}=-tan{\alpha }_2$

∴ $tan{\alpha }_2=-\frac{AC}{BC}$

∴ $tan{\alpha }_1·tan{\alpha }_2=\frac{BC}{AC}·(-\frac{AC}{BC})=-1$

故证得两垂直直线斜率之积为-1.