前面我们分析了二次函数存在性问题之直角三角形这类问题的解题方法和利用一线三垂直模型来进行求解，本文主要利用勾股定理来求解，在利用该方法求解时，必须要先掌握平面直角坐标系中两点间距离公式，如果有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则

$AB=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$

但是我们解这类题的时候，就直接写成距离的平方的形式：

$A{B}^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$

下面我们就来把前面的例题用勾股定理来进行求解。

例、如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵ C(0，3)，即 OC=3，BC=5，

∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB=$\sqrt{B{C}^2-O{C}^2}$=4，即 B(4，0)，

把B与C坐标代入y=kx+n中，得：$\{\begin{array}{l}4k+n=0\\ n=3\end{array},$

解得：$k=-\frac{3}{4}，n=3$，

∴直线BC解析式为$y=-\frac{3}{4}x+3$；

由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为$y=a(x-1)(x-4)$，

把C（0，3）代入得：a=$\frac{3}{4}$，

则抛物线解析式为$y=\frac{3}{4}{x}^2-\frac{15}{4}x+3$；

（2）存在，理由如下：

由（1）得，抛物线的对称轴为：$x=\frac{5}{2}$

∵ P点在抛物线的对称轴所在直线上

∴ 设P点坐标为($\frac{5}{2}$，m),

∵ B(4，0)， C(0，3)

∴ $B{C}^2=(4-0{)}^2+(0-3{)}^2=25$，

$P{B}^2=(4-\frac{5}{2}{)}^2+(0-m{)}^2=m^2+\frac{9}{4}$，

$P{C}^2=(0-\frac{5}{2}{)}^2+(3-m{)}^2=m^2-6m+\frac{61}{4}$

① 当∠PCB=90°时，由勾股定理得：$P{B}^2=P{C}^2+B{C}^2$，即：

$m^2+\frac{9}{4}=m^2-6m+\frac{61}{4}+5$

化简，得：$6m=38$

解得：$m=\frac{19}{3}$

∴ P点坐标为($\frac{5}{2},\frac{19}{3}$)

② 当∠BPC=90°，由勾股定理得：$B{C}^2=B{P}^2+C{P}^2$，即：

$25=m^2+\frac{9}{4}+m^2-6m+\frac{61}{4}$

化简，得：$4m^2-12m-15=0$

解得：m=$\frac{3}{2}+\sqrt{6}$或m=$\frac{3}{2}-\sqrt{6}$

则P点坐标为($\frac{5}{2},\frac{3}{2}+\sqrt{6}$)或($\frac{5}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{6}$).

③ 当∠PBC=90°，由勾股定理得：$P{C}^2=B{P}^2+C{B}^2$，即：

$m^2-6m+\frac{61}{4}=m^2+\frac{9}{4}+25$

化简，得：$-6m=12$

解得：m=-2

则P点坐标为($\frac{5}{2}$，-2 ).

综上所述，P点的坐标为：($\frac{5}{2}$，-2 )、($\frac{5}{2},\frac{3}{2}+\sqrt{6}$)、($\frac{5}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{6}$)、($\frac{5}{2},\frac{19}{3}$).

注意：利用勾股定理计算这类题一定要仔细，毕竟计算量还是比较大，很容易出错。

练习、如图，已知抛物线$y=a{x}^2+bx+c（a\ne 0）$的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM＝$\sqrt{5}$．

（1）求点M的坐标；
（2）求抛物线$y=a{x}^2+bx+c$的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】
（1）M的坐标为（2，1）；
（2）抛物线的解析式为：$y=-x^2+4x-3$．
（3）综上可得点P的坐标为（2，$-\frac{1}{3}$）或（2，$-\frac{11}{3}$）或（2，-1）或（2，-2）．