一、二次根式的定义

形如\sqrt{a}(a≥0)式子叫做二次根式；
二次根式必须满足：含有二次根号“\sqrt{　}”；被开方数a必须是非负数（含有\sqrt{　}，且有意义）。
① 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；
② 判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。

二、二次根式的性质

（1）非负性\sqrt{a}(a≥0)是一个非负数；又因被开方数也非负，所以可以称为二次根式的双重非负性；

（2）（\sqrt{a}）^2=a （a≥0）
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成a=（\sqrt{a}）^2（a≥0）

（3）\sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{matrix} a(a≥0) \\ -a(a＜0) \end{matrix} \right.

注意：
① 字母不一定是正数．
② 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

三、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
① 根号下无分母，分母中无根号；
② 被开方数中没有能开方的因数或因式。

四、同类二次根式

1、定义：将一些二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式称为同类二次根式.

2、二次根式合并方法：合并同类二次根式跟合并合并同类项类似，将根号外的因式或因数相加，根指数和被开方数不变，合并依据是乘法分配律的逆运用，即：

a\sqrt{m}+b\sqrt{m}=(a+b)\sqrt{m} (m ≥ 0)

五、分母有理化

1、定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2、有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
（1）单项二次根式
利用\sqrt{a}·\sqrt{a}=a来确定，如：

\sqrt{a}与\sqrt{a}，\sqrt{a+b}与\sqrt{a+b}，\sqrt{a-b}与\sqrt{a-b}

（2）两项二次根式
利用平方差公式来确定，如：
\sqrt{a}+b与\sqrt{a}-b,\sqrt{a}+\sqrt{b}与\sqrt{a}-\sqrt{b}

3、分母有理化步骤：
（1）先将分子、分母化成最简二次根式；
（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，是分母中不含有根式.

六、二次根式的乘除

1、二次根式乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0，b≥0)

注意：被开方数可以是数也可以是式子，但必须都是非负的.

2、二次根式乘法法则的逆运用：积的算术平方根等于乘积中各个因式的算术平方根的积.

\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}(a≥0，b≥0)

3、二次根式除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0，b＞0)

4、二次根式除法法则的逆运用：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0，b＞0)

七、二次根式的加减

1、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再讲被开方数相同的二次根式进行合并。

2、二次根式加减运算步骤：
（1）“一化简”：将每个二次根式化简成最简二次根式；
（2）“二判断”：判断被开方数相同的最简二次根式；
（3）“三合并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项。

八、二次根式的混合运算

1、二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算。

2、二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同.

九、代数式

代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式。

注意：单独一个数或字母也是代数式。