一、正比例函数

1、正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注意：在正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)，一定要注意k≠0这个条件。当k=0时，无论x取何值，y的值都是0，此时它不是正比例函数.

2、判断正比例函数的方法
（1）所给出的等式形如y=kx的等式，两个变量x，y的次数都是1；
（2）比例系数k是常数，且k≠0.

二、正比例函数图象

1、正比例函数的图象：一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.

注意：
1、有些正比例函数图象因自变量的取值范围的限制，并不一定都是一条直线，可能是一条射线或一条线段或一些点。
2、正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)中，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓；

2、正比例函数图象的画法
因为两点确定一条直线，所以可以用两点法画正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象。一般地，过原点或点(1,k)的直线，即为正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象.

三、正比例函数的性质

四、一次函数

1、定义：一般，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.

注意：
（1）k≠0;
（2）自变量x的次数是1；
（3）常数项b可以是任意实数.

2、一次函数与正比例函数关系

（1）正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)中b=0的特殊形式，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.

（2）若一直y与x成正比例，则可设函数解析式为y=kx(k≠0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为y=kx+b(k,b是常数，k≠0).

五、一次函数的图象

1、一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.

2、一次函数的图象与正比例函数的图象的关系
一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象可以由直线y=kx(k是常数，k≠0)沿y轴向上(b>0)或向下(b \lt 0)平移|b|个单位长度得到.

3、一次函数图象的画法

（1）两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b与两坐标轴的交点，即（0，b）与（-\frac{b}{k}，0）画直线.

（2）平移法：一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是由直线y=kx(k是常数，k≠0)沿y轴向上(b>0)或向下(b \lt 0)平移|b|个单位长度得到.

4、一次函数倾斜度
|k|的大小决定直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的倾斜度.|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.

六、一次函数图象的平移

1、上下平移
直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)向上平移n(n>0)个单位长度得到直线y=kx+b+n；
直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)向下平移n(n>0)个单位长度得到直线y=kx+b-n；
简记：上加下减（只改变b）

2、左右平移
直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)向左平移m(m>0)个单位长度得到直线y=k(x+m)+b；
直线y=kx+b(k,b是常数，k≠0)向右平移m(m>0)个单位长度得到直线y=k(x-m)+b；
简记：左加右减（只改变x）

3、特殊的几条直线
（1）当直线平行于x轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线的函数解析式为y=b;
（2）当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为a时，这条直线的函数解析式为x=a;
（3）x轴、y轴分别表示直线y=0，直线x=0.

所以平面内任何一条直线都可以用函数解析式表示.

七、一次函数的性质

八、用待定系数法确定一次函数的解析式

1、定义
先设出待定的函数解析式，在根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.

2、一般步骤：
（1）设：设出含有待定系数的函数解析式；
（2）代：把已知条件中自变量与函数对应值代入函数解析式，列出关于待定系数的方程（组）;
（3）解：解方程（组），求待定的系数；
（4）回代：将求得的待定系数的值代回所设的解析式.

九、一次函数与一元一次方程

1、一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)与一元一次方程kx+b=0（k，b为常数，k≠0）的关系

数： 函数y=kx+b中，函数值y=0时自变量x的值是方程kx+b=0的解.

形： 函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的解.

2、一次函数图象法解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数；
（2）画图像：画出一次函数的图象；
（3）找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解。

十、一次函数与一元一次不等式

1、一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)与一元一次不等式kx+b\gt 0(kx+b \lt 0)（k，b为常数，k≠0）的关系

数： 函数y=kx+b中，函数值y\gt 0时自变量x的取值范围是不等式kx+b\gt 0的解集；函数值y\lt 0时自变量x的取值范围是不等式kx+b\lt 0的解集；

形： 函数y=kx+b的图象中，位于x轴上方部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b\gt 0的解集；位于x轴下方部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b\lt 0的解集；

2、直线y_1=k_1x+b_1与直线y_2=k_2x+b_2的横坐标即为方程k_1x+b_1=k_2x+b_2的解；不等式k_1x+b_1\gt k_2x+b_2(或k_1x+b_1\lt k_2x+b_2)的解集就是直线y_1=k_1x+b_1在直线y_2=k_2x+b_2上（或下）方部分对应自变量x的取值范围.

十一、一次函数与二元一次方程组

1、一次函数与二元一次方程的联系
一般地，一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0的解；以关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.

2、二元一次方程与一次函数的区别
（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
（2）二元一次方程式用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量的关系.

3、一次函数与二元一次方程组的对应关系
（1）二元一次方程组可以看作两个一次函数或两条直线；
（2）二元一次方程组的解即为两个一次函数值相等时自变量的值及函数值，也就是两条直线的交点坐标.

4、两条直线交点个数与二元一次方程组解的个数关系
（1）两条直线有交点（相交）<=>方程组只有一组解；
（2）两条直线无交点（平行）<=>方程组无解；
（3）两条直线是同一条直线（重合）<=>方程组有无数个解.

5、用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组化为一次函数；
（2）画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数图象；
（3）找交点：由图象确定两条直线交点的坐标；
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.