一、平均数（算术平均数）

1、定义
一般地，对于$n$个数$x_1,x_2,···,x_n$,我们把$\frac{1}{n}(x_1+x_2+···+x_n)$叫做这$n$个数的平均数，简称平均数，记作$\bar{x}$，读作“$x$拔”，即$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+···+x_n)$.

2、计算方法
求平均数，只要把所有的数据加起来求出总和，再除以数据总个数即可，即：如果有$n$个数$x_1,x_2,···,x_n$，那么$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+···+x_n)$.

3、性质 若$x_1,x_2,···,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则：
（1）$n{x}_1,n{x}_2,···,n{x}_n$的平均数为$n\bar{x}$；
（2）$x_1+b,x_2+b,···,x_n+b$的平均数为$\bar{x}+b$；
（3）$n{x}_1+b,n{x}_2+b,···,n{x}_n+b$的平均数为$n\bar{x}+b$.

注意：
1、一组数据的平均数是唯一的，它不一定是数据中的某个数据;
2、平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.

二、加权平均数

1、定义
（1）一般地，若$n$个数$x_1,x_2,···,x_n$的权分别是$w_1,w_2,···,w_n$，则$\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+···+x_n{w}_n}{w_1+w_2+···+w_n}$叫做这$n$个数的加权平均数.

（2）在求$n$个数的平均数时，如果$x_1$出现$f_1$次，$x_2$出现$f_2$次，···，$x_k$出现$f_k$次(这里$f_1+f_2+···+f_k=n$).那么这$n$个数的平均数$\bar{x}=\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+···+x_k{f}_k}{n}$叫做$k$个数$x_1,x_2,···,x_k$的加权平均数，其中$f_1,f_2,···,f_k$分别叫做$x_1,x_2,···,x_k$的权.

2、加权平均数与算术平均数的联系和区别
（1）联系：算术平均数实质上是加权平均数的一种特殊的情况，即各项的权相等，算术平均数就是加权平均数.
（2）区别：加权平均数不一定是算术平均数，若一组数据较少，可用算术平均数描述这组数据的集中变化趋势；若一组数据中的某些数据重复出现或各个数据的重要程度不同时，可用加权平均数描述这组数据的集中变化趋势.

注意：
1、权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重就越大，反之越小；
2、权的表现形式：
（1）数据的个数；
（2）数据的百分比；
（3）数据的比例关系.

3、数据分组后，常用各组的组中值，即各组的两个端点的数的平均数代表各组的实际数据，这时“权”就是各组数的频数.

三、用样本估计总体

1、用样本估计总体
当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识。

2、选取样本的方法
（1）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计越准确，相应的工作量及破坏性也越大，因此样本的容量的确定，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性及付出的代价；
（2）抽取的样本要具有一般性和代表性，这样有利于推测全貌，估计总体，作出决策，解决相关问题.

四、中位数

1、定义
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这个数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数的平均数为这组数据的中位数

2、求中位数的方法
（1）所有数据按照大小顺序排列；
（2）判断数据个数的奇偶；
（3）如果数据个数是奇数，那么中位数就是处于中间位置的一个数据；如果数据个数是偶数，中位数是处于中间位置的两个数据的平均数.

注意：
1、一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这个数据中的数；
2、中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势.

五、众数

1、定义
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

注意：
（1）一组数据的总数不一定是唯一的，可能是一个或几个，也可能没有.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数。

2、确定众数的方法
（1）排列：将数据按大小顺序排列
（2）确定众数：先数出这组数据中各数据出现的次数，在找出这组数据中出现次数最多的数据.

注意：在一组数据中，当出现次数最多的数据只有一个时，这个数据就是众数；当出现次数最多的数据不止一个时，这几个数据就是众数；当每个数据出现的次数相同时，这组数据没有众数.

六、方差

1、方差的定义
设有$n$个数据$x_1,x_2,···,x_n$，各数据与它们的平均数$\bar{x}$的差的平方分别是$(x_1-\bar{x}{)}^2，(x_2-\bar{x}{)}^2，···，(x_n-\bar{x}{)}^2$，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作$s^2$.

2、方差的公式
若$n$个数据$x_1,x_2,···,x_n$的平均数为$\bar{x}$，则方差：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+···+(x_n-\bar{x}{)}^2]$。

3、求方差的步骤
第一步：求出原始数据的平均数；
第二步：求出原始数据中各数据与平均数的差；
第三步：求所得各个差数的平方；
第四步：求所得各平方数的平均数.

注意：
1、在实际生活中，经常用方差的大小来判断数据的稳定性；
2、方差的大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但方差较大，也可能一组数据比较大，但方差较小.

七、极差、平均差、标准差

1、极差
一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，即 极差=最大值-最小值.

2、平均差
一组数据中每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数叫做这组数据的平均差，即：

平均差=$\frac{|x_1-\bar{x}|+|x_2-\bar{x}|+···+|x_n-\bar{x}|}{n}$

3、标准差
标准差是方差的算数平方根，即：
$s=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+···+(x_n-\bar{x}{)}^2]}$