一、一元二次方程的概念

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程必须同时满足的条件：
1、是整式方程；
2、只含有一个未知数；
3、化简后未知数的最高次数是2.

二、一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式$a{x}^2+bx+c=0(a,b,c\mathrm{是}\mathrm{常}\mathrm{数}，a\ne 0)$，其中$a{x}^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项.

三、一元二次方程的根

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

四、解一元二次方程的方法

4.1、直接开平方法

1、概念：利用平方根的定义来直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.

2、理论依据：平方根的意义.

3、方程$x^2=a$的根的情况.

（1）当$a>0$，有两个不相等的实数根$x_1=\sqrt{a}，x_2=-\sqrt{a}$；
（2）当$a=0$，有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$；
（3）当$a<0$，无实数根.

4、直接开平方法解一元二次方程的步骤.
（1）将方程化为$x^2=p$或$(mx+n{)}^2=p(p\ge 0，m\ne 0)$的形式；
（2）直接开平方化为两个一元一次方程；
（3）解两个一元一次方程得到原方程的解.

4.2、配方法

1、概念：通个配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法，一般地，我们可以把一个一元二次方程通过配方法转化为：$（x+n{）}^2=p(p\ge 0)$的形式.

2、配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将常数项移到等号的右边，含未知数的项移到等号左边；
（2）等式两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；
（3）等式两边加上一次项系数的一半的平方；
（4）将左边化成完全平方的形式；
（5）对等式两边直接开平方；
（6）解两个一元一次方程.

4.3、公式法

1、根的判别式定义：一般地，式子$b^2-4ac$叫做一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$根的判别式.

2、判别式与一元二次方程根的关系
（1）当$b^2-4ac>0$时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；
（3）当$b^2-4ac<0$时，方程没有实数根.

3、求根公式：当$b^2-4ac\ge 0$时，方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$的实数根可写为$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的形式，这个式子叫做一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$的求根公式.

4、公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程化为一般形式；
（2）确定$a，b，c$的值；
（3）计算$b^2-4ac$的值，并判断其正负；
（4）当$b^2-4ac\ge 0$时，把$a,b$及$b^2-4ac$代入求根公式，求出方程的根；当$b^2-4ac<0$时，方程没有实数根.

4.4、因式分解法

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
1、移项：将方程化为一般形式；
2、化积：将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
3、转化：另每一个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；
4、求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

五、根与系数的关系

如果方程$a{x}^2+bx+c=0（a\ne 0）$的两个实数根为$x_1,x_2$，那么$x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1{x}_2=\frac{c}{a}$。

前提条件是$b^2-4ac\ge 0$，根据求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，所以：

（1）$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}；$

（2）$x_1{x}_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}；$

根与系数关系与根的情况判断：
设一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0（a\ne 0）$的两个实数根为$x_1,x_2$.