一、二次函数
1、二次函数定义
一般地，形如y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系、一次性系数和常数项。
2、确定二次函数的“三要素”
（1）含有自变量的代数式必须是整式；
（2）化简后自变量的最高次项次数是2；
（3）二次项系数不等于0.

3、运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.

二、二次函数y = ax^2
(一)、二次函数y = ax^2的画法
1、抛物线
二次函数y = ax^2+bx+c的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y = ax^2+bx+c.
抛物线顶点：
抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.

2、用描点法画函数y = ax^2（a≠0）的图象的一般步骤
（1）列表：
自变量x的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便描点和全面反映图象的情况.
（2）描点：
点取的越多、越密集，画出的图象就越准确.
（3）连线：
按自变量由小到大（或由大到小）的顺序，依次用平滑的曲线连接各点.

(二)、二次函数y = ax^2的图象和性质

三、二次函数y=ax^2+k
(一)、二次函数y=ax^2+k的图象和性质
1、二次函数y=ax^2+k的图象与二次函数y=ax^2图象的关系
它们的开口大小、方向相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax^2+k的图象可由二次函数y=ax^2的图象上下平移|k|个单位长度得到.
2、二次函数y=ax^2+k的图象和性质

3、二次函数y=ax^2+k的图象的画法
（1）描点法：按列表→描点→连线的顺序作图；
（2）平移法：将二次函数y=ax^2的图象，向上（k>0）或向下（k\lt 0）平移|k|个单位长度，即可得到二次函数y=ax^2+k的图象.

(二)、二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质
1、二次函数y=a(x-h)^2的图象与二次函数y=ax^2图象的关系
它们的开口大小、方向相同，只是左右位置不同，二次函数y=a(x-h)^2的图象可由二次函数y=ax^2的图象左右平移|k|个单位长度得到.
2、二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质

(三)、二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质
1、二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与二次函数y=ax^2图象的关系
它们的开口大小、方向相同，只是位置不同，二次函数y=a(x-h)^2+k的图象可由二次函数y=ax^2的图象平移得到.
2、二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质

(四)、二次函数y=ax^2，y=ax^2+k，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k之间的关系

三、二次函数y=ax^2+bx+c
(一)、二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a(x-h)^2+k之间的关系
1、二次函数一般式y=ax^2+bx+c与二次函数顶点式y=a(x-h)^2+k的互化
y=ax^2+bx+c
=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c
=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]]+c
=a[(x+\frac{b}{a})^2-(\frac{b}{2a})^2]]+c
=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c
=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}
所以 h=-\frac{b}{2a}，k=\frac{4ac-b^2}{4a}.

2、二次函数y=ax^2+bx+c的图象的画法
方法一：描点法
（1）把二次函数y=ax^2+bx+c化为y=a(x-h)^2+k的形式；
（2）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）在对称轴的两侧，已顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连接.
方法二：平移法
（1）把二次函数y=ax^2+bx+c化为y=a(x-h)^2+k的形式；
（2）做出二次函数y=ax^2的图象；
（3）将二次函数y=ax^2的图象平移，使其顶点平移到(h,k)。
3、二次函数的对称性
对于二次函数y=ax^2+bx+c的图象上的两点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)，若P_1(x_1,y_1)与P_2(x_2,y_2)关于直线x=-\frac{b}{2a}对称，则y_1=y_2，\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}.

(二)、二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质（与y=a(x-h)^2+k图象和性质）对比

(三)、用待定系数法求二次函数的解析式
1、常见的二次函数解析式的适用条件
（1）一般式y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当已知抛物线上三点的坐标时，可设一般式；
（2）顶点式y=a(x-h)^2+k（a，h，k为常数，a≠0），当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值时，可设顶点式；
（3）交点式y=a(x-x_1)(x-x_2)(a，x_1，x_2为常数，a≠0)，当已知抛物线与x轴的两个交点(x_1,0),(x_2,0)时，可以设交点式.
2、用待定系数法求二次函数解析式的步骤
（1）设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的解析式；
（2）代：把已知点的坐标代入所设的二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程或方程组；
（3）解：解次方程或方程组，求出待定系数的值；
（4）还原：将求出的待定系数还原到解析式中，求得解析式.
3、特殊位置抛物线的解析式的设法
（1）顶点在原点，可设为y=ax^2；
（2）对称轴在y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax^2+k;
（3）顶点在x轴，可设为：y=a(x-h)^2;
（4）抛物线过原点，可设为y=ax^2+bx。

四、二次函数与一元二次方程的关系
1、二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系
一般地，从二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象可知：如果抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x_0,那么当x=x_0时，函数值是0，因此x=x_0时方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的一个根.
2、二次函数与一元二次方程的联系与区别
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)二者之间的联系与区别，列表如下：

五、二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.
1、利用二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的公共点求一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解
（1）作出二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，确定图象与x轴公共点的个数，就是方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解的个数.
（2）观察图形，函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解，当函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可以通过缩小解所在的范围估计一元二次方程的解.
2、利用二次函数y=ax^2的图象与直线y=-bx-c的公共点求方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解
（1）将方程ax^2+bx+c=0(a≠0)化为ax^2=-bx-c的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax^2和直线y=-bx-c，并确定抛物线与直线公共点的坐标；
（3）公共点的横坐标即为一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解。

六、二次函数y=ax^2+bx+c的图象的特征与a，b，c的符号关系
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴的大致位置，b^2-4ac的符号决定抛物线与x轴的交点情况.