相比几何方法求解等腰三角形存在性问题，代数方法显得就比较简单直接。最重要的公式就是，两点间距离公式。

一、两点间距离公式

设两个点A、B以及坐标分别为（x_1,y_1）、 （x_2,y_2），则A和B两点之间的距离为：

|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

二、例题讲解

下面我们就以前面的一道例题来进行说明：
例、 如图，已知抛物线解析式为y=-x^2+2x+3，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△PCB为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在说明理由？

分析： 根据题意我们可以求出B、C点坐标，分别为(3,0)，(0,3)，
P点是抛物线对称轴上一动点，所以需要先设P点坐标，既然P点在x=1这条直线上，所以横坐标为1，则设P点坐标为(1,m)，
分别计算BC、PC、PB的长度，使用两点间距离公式，但是一般我们使用平方来表示，即：
BC^2=(0-3)^2+(3-0)^2=18
PC^2=(1-0)^2+(m-3)^2=m^2-6m+10
PB^2=(1-3)^2+(m-0)^2=m^2+4
下面分别以不同的点为顶点进行分类讨论：
① 当PB=PC时（以P点为顶点），则:
m^2+4=m^2-6m+10;
② 当BC=PB时（以B点为顶点），则:
18=m^2+4；
③ 当BC=PC时（以C点为顶点），则:
18=m^2-6m+10；
计算上面三种情况下m的值，但是还需要进行检验，可能求出的P点刚好与B、C共线呢？所以还需要求出BC所在直线的解析式，将上面的点代入到解析式中进行验证即可。

解： 由题意得，B、C点坐标分别为(3,0)，(0,3)，设P点坐标为(1,m)，则：
BC^2=(0-3)^2+(3-0)^2=18
PC^2=(1-0)^2+(m-3)^2=m^2-6m+10
PB^2=(1-3)^2+(m-0)^2=m^2+4
（1）当PB=PC时，即：
m^2+4=m^2-6m+10
解得：m=1
∴ P(1,1)
（2）当BC=PB时，即：
18=m^2+4
解得：m=±\sqrt{14}
∴ P(1,\sqrt{14})或P(1,-\sqrt{14})
（3）当BC=PC时，即：
18=m^2-6m+10
解得：m=3±\sqrt{17}
∴ P(1,3+\sqrt{17})或P(1,3-\sqrt{17})
∵ B、C点坐标分别为(3,0)，(0,3)
∴ BC所在直线的解析式为：y=-x+3
∴ 经检验，以上各点都不在直线BC上
综上所述：满足△BCP是等腰三角形的P点坐标为：（1,1）、(1,\sqrt{14})、(1,-\sqrt{14})、(1,3+\sqrt{17})、(1,3-\sqrt{17}).

例2、 如图，抛物线y=ax^2+bx+4交x轴于A（-3,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

分析： 本题中A、C都是定点，P是抛物线第一象限内的一动点，则Q点也是一动点，且在线段BC（不含B、C两点）上运动，所以本题需要先求出BC所在直线的解析式，然后根据等腰三角形存在性问题代数法求解即可。
解： （1）将(-3,0),(4,0)代入抛物解析式得：
\left\{\begin{matrix} 9a-3b+4=0 \\ 16a+4b+4=0 \end{matrix} \right.
解得：\left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3} \\ b=\frac{1}{3} \end{matrix} \right.
所以抛物线的解析式为：y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+4.
（2）∵ 抛物线的解析式为：y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+4
∴ C点坐标为（0，4）
∵ C(0,4),B(4,0)
∴ BC所在直线解析式为：
y=-x+4
Q点是直线CB上一动点，设Q点坐标为
（m,-m+4）
∵ A（-3,0）,C（0,4）
∴ AC^2=25,
CQ^2=m^2+(-m+4-4)^2=2m^2,
AQ^2=(m+3)^2+(-m+4)^2=2m^2-2m+25
（1）当AC=AQ时，即：
25=2m^2-2m+25
解得：m=0(舍去)或m=1
∴ P(1,3)
（2）当AC=CQ时，即：
25=2m^2
解得：m=\frac{5\sqrt{2}}{2}或m=-\frac{5\sqrt{2}}{2}(舍去)
∴ P(\frac{5\sqrt{2}}{2},4-\frac{5\sqrt{2}}{2})
（3）当AQ=CQ时，即：
2m^2=2m^2-2m+15
解得：m=\frac{15}{2}(舍去)
综上所述：满足△ACQ是等腰三角形的Q点坐标为：（1,3）、(\frac{5\sqrt{2}}{2},4-\frac{5\sqrt{2}}{2}).

三、使用代数法步骤

1、先计算出三角形每边的距离，采用两点间距离公式，通常用平方表示；
2、以各点为顶点，分类讨论腰相等三种情况，建立方程并求解；
3、检验所求点是否符合题意，不符合则舍去。