一、反比例函数有关概念

1、反比例函数的概念：形如：y=\frac{k}{x}(k为常数，k≠0，x≠0)的函数称为反比例函数。其中x为自变量，y是函数，k为比例系数，自变量x的范围是不等于0的一切实数。
2、反比例函数的三种形式：
（1）y=\frac{k}{x}(k为常数，k≠0，x≠0)；
（2）y=kx^{-1}(k为常数，k≠0，x≠0)；
（3）xy=k(k为常数，k≠0，x≠0).
3、反比例函数需要注意几点：
（1）反比例函数表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为0的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式。形如y=\frac{1}{x-1}这样的式子不是反比例函数。
（2）反比例函数y=\frac{k}{x}(k为常数，k≠0)的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数。

二、反比例函数的图象及画法

1、反比例函数的图象
反比例函数y=\frac{k}{x}的图象是由两条曲线组成，称为双曲线。
（1）当k>0时，双曲线的两支位于第一、三象限；

（2）当k\lt 0时，双曲线的两支位于第二、四象限.

注意：反比例函数图象与x轴，y轴没有交点，只是无限接近于坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

2、反比例函数的画法
（1）列表：取一些自变量的值，在原点的两边各取三对及三对以上相反数；
（2）描点：根据表中提供的数据，在平面直角坐标系上进行描点；
（3）连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，但是延伸部分只能接近于坐标轴，但不与坐标轴相交.

三、反比例函数的性质

1、当k>0时，双曲线的两支位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
2、当k\lt 0时，双曲线的两支位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.

注意：反比例函数的增减性都是在各自象限内的增减情况.

四、反比例函数系数k的几何意义

如图，过双曲线上任意一点P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN，交x轴，y轴一点M，N，所得矩形PMON的面积S=PN·PM=|x|·|y|=|xy|.
因为y=\frac{k}{x}，所以xy=k，所以S=|k|。

结论：即过双曲线上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.

五、求反比例函数的解析式

1、用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数y=\frac{k}{x}中，只有一个待定系数k，所以我们在确定解析式时，只需要一组x，y的对应值或双曲线上一个点的左边，将其代入解析式中，列方程，解出k即可，从而得到解析式。

2、用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设：设所求反比例函数解析式为y=\frac{k}{x}（k≠0）;
（2）代：将已知条件中对应x，y代入解析式，得到关于k的方程；
（3）解：解关于k的方程，解出k的值；
（4）定：将k的值代入y=\frac{k}{x}中，得到函数解析式。

六、实际问题与反比例函数

1、反比例函数应用中常见的基本关系
（1）行程问题：路程=时间×速度；
（2）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；
（3）等积问题：变形前后物体的体积（或质量）不变；
（4）图形问题：根据图形的特征，结合规则图形的周长公式、面积公式、体积公式等关系来解题。

2、用反比例函数解决实际问题的的步骤
（1）审：审清题意，找出题中的变量、常量，并找到它们之间的关系；
（2）设：根据常量和变量之间的关系，设出解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题.