在学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形后，结合三角形的中位线的性质，本文来介绍下中点四边形。

一、中点四边形

1、概念
顺次连接四边形各边的中点所得的四边形称为中点四边形。

2、图示

四边形DFGH为所得的中点四边形。

3、中点四边形的性质：任意四边形的中点四边形都是平行四边形

4、判定依据：三角形的中位线定理

5、证明中点四边形为平行四边形
如图，连接AC，

在△ADC中，H、G分别是AD、DC的中点
∴ AC=2HG，AC//HG
同理，在△ABC中，D、F分别是AB、BC的中点
∴ AC=2EF，AC//EF
∴ HG=EF，HG//EF
∴ 四边形EFGH为平行四边形

二、特殊四边形的中点四边形

1、平行四边形的中点四边形是平行四边形；
2、矩形的中点四边形是菱形；（矩形的对角线相等）
3、菱形的中点四边形是矩形；（菱形的对角线互相垂直）
4、正方形的中点四边形是正方形；（正方形的对角线相等且互相垂直）

三、对角线特殊的四边形的中点四边形

1、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形（如图1）；
2、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形（如图2）；
3、对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形（如图3）。

综上可以得出中点四边形的形状与原四边形的形状没有关系，只与原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定。

四、例题

1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC ⊥ BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（ ）

A. 14
B. 12
C. 24
D. 48

解：∵ 点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，对角线AC ⊥ BD，
∴ 由中点四边形的性质可知，四边形EFGH是矩形.
∴ EF=4，FE=3，
∴ 四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12 .
故答案选B

2、如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则$E{G}^2+F{H}^2$=______．

解：∵ AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴ 由中点四边形的性质可得，四边形HEFG是矩形
∴ EF=4，EH=3
∴ $E{G}^2+F{H}^2=E{F}^2+F{G}^2+E{H}^2+E{F}^2=4^2+3^2+3^2+4^2=50$
故答案为50.

3、如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若OB⊥OC，∠EOM和∠OCB互余，OM=3，求DG的长度．

解：解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴ DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，
∵ E、F分别是OB、OC的中点，
∴ EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴ DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵OB⊥OC，
∴ ∠BOC=90°，
∵ ∠EOM+∠COM=90°，∠EOM+∠OCB=90°，
∴ ∠COM=∠OCB，
∵ EF∥BC，
∴ ∠OFE=∠OCB，
∴ ∠MOF=∠MFO，
∴ OM=MF，
∵ ∠OEM+∠OFM=90°，∠EOM+∠MOF=90°，
∴ ∠EOM=∠MEO，
∴ OM=EM，
∴ EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴ DG=EF=6．

五、练习

1、如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,则四边形EFGH的周长为（ ）.

A. 12
B. 14
C. 24
D. 21

2、如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，由顺次连接正方形$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$四边的中点得到第二个正方形$A_2{B}_2{C}_2{D}_2$，……，以此类推，则第六个正方形$A_6{B}_6{C}_6{D}_6$周长是（ ）.

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{5}$

【答案】
1、∵ BD⊥CD,BD=4,CD=3,
∴ BC==5,
∵ E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,
∴ EH=FG=$\frac{1}{2}$BC,EF=GH=$\frac{1}{2}$AD,
∴ 四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,
又∵ AD=7,
∴ 四边形EFGH的周长=7+5=12.
故选A.

2、正方形ABCD对角线为$\sqrt{2}$,正方形$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的边长为正方形ABCD对角线的一半即为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
正方形$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$对角线为1,正方形$A_2{B}_2{C}_2{D}_2$的边长为正方形ABCD对角线的一半即为：$\frac{1}{2}$；
正方形$A_2{B}_2{C}_2{D}_2$对角线为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,正方形$A_3{B}_3{C}_3{D}_3$的边长为正方形ABCD对角线的一半即为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
根据上面的规律可以看出，边长的规律为中点四边形的边长是原四边形边长的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍
则$A_6{B}_6{C}_6{D}_6$的边长为$1\times (\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^6=\frac{1}{8}$
∴ 正方形$A_6{B}_6{C}_6{D}_6$的周长为4×$\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.
故答案选A.