二次函数是中考的必考考点，综合性非常强。本文主要介绍下二次函数中存在性问题的直角三角形存在性问题，其实这类题如果掌握好了方法，还是非常比较简单，很容易得到分。下面我们就利用例题对这类题型进行分析。

例、如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：这里二次函数题的第一问还是非常简单，第二问就是我们今天需要讨论的问题。点P是在抛物线的对称轴上，那么就需要先求对称轴是多少，这里我直接给出，对称轴为$x=\frac{5}{2}$，P既然是对称轴上一动点，那么可以直接设P点坐标为($\frac{5}{2}$,m).

要使得B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，那么还需要求出B，C的坐标，这里也直接给出B(4,0)，C(0,3).

以上我们把本题的需要的基本数据准备好了，下面我们开始分析如何构成直角三角形。

要使得B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，那么并没有明确是以那个角为直角的直角三角形，那么这里需要干什么呢？

肯定需要“分类讨论”，分别讨论∠PCB=90°，∠PBC=90°，∠BPC=90°，这三种情况都需要讨论。

我们知道要进行分类讨论，那么如何来找出关系来求出P点坐标呢？这里就需要大家开动脑筋，把学过的知识点想一想，有哪些知识点是与直角或垂直有关呢？

1、首先，勾股定理，如果三角形是直角三角形，则三边满足a²+b²=c²。

2、其次，前面我们讲过两直线垂直，那么它们k的乘积为-1；

3、最后，也是大部分同学最不容易想到的，一线三垂直关系，既然这里需要直角，那么我们将一个角看成直角，去构造一线三垂直模型，利用相似三角形构造等量关系，即可解题。

一、利用勾股定理

如果利用勾股定理解题，就需要求出三边的长度，在平面直角坐标系中，求两点的距离公式就特别重要了，如果有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则

$AB=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$

但是我们解这类题的时候，就直接写成距离的平方的形式：

$A{B}^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$

那么我们根据B、C、P三点的坐标利用上面的公式分别表示出BC²，BP²，CP²，下一步就利用分类讨论，分别讨论即可。

二、利用直线斜率(k)

如果利用直线斜率(k)，来解题，那么就需要先把三角形的三边都看着在直线上，那么就把这三条直线的斜率(k)计算出来。如果直线上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$x_1\ne x_2$，则

$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

利用上面的计算公式，分别把BC、BP、CP所在直线的斜率分别表示出来，然后进行分类讨论，利用两直线垂直斜率的积为-1建立等量关系，求解即可。

三、一线三垂直模型

一线三垂直模型这里就不赘述了，那么我们进行分类讨论。
1、当∠CPB为直角时，如图，过点P作y轴的垂线，交y轴于点D，过B点作x轴的垂线，两垂线相交于点E，那么这里就出现了相似三角形，△DCP∽△EPB。

2、当∠PCB为直角时，如图，过点P作y轴的垂线，交y轴于点D，那么△DPC∽△OCB。

3、当∠CBP为直角时，如图，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，交于点D，过点P作x轴平行线，交DB所在直线于点E，这里又出现了一线三垂直模型，即△DCB∽EBP。

利用相似比建立等量关系，即可求出P点的坐标。

后续我们将利用这三种方法来求解上面例题和一道练习题。