前面我们分析了二次函数存在性问题之直角三角形这类问题的解题方法，并利用一线三垂直模型和勾股定理来进行求解，本文主要利用互相垂直直线斜率k的关系来求解，在利用该方法求解时，必须要先掌握直线斜率计算公式：如果直线上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$x_1\ne x_2$，则

$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

和互相垂直两条直线斜率k的积为-1。下面我们就来把前面的例题用该方法进行求解。

例、如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵ C(0，3)，即 OC=3，BC=5，

∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB=$\sqrt{B{C}^2-O{C}^2}$=4，即 B(4，0)，

把B与C坐标代入y=kx+n中，得：$\{\begin{array}{l}4k+n=0\\ n=3\end{array},$

解得：$k=-\frac{3}{4}，n=3$，

∴直线BC解析式为$y=-\frac{3}{4}x+3$；

由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为$y=a(x-1)(x-4)$，

把C（0，3）代入得：a=$\frac{3}{4}$，

则抛物线解析式为$y=\frac{3}{4}{x}^2-\frac{15}{4}x+3$；

（2）存在，理由如下：

由（1）得，抛物线的对称轴为：$x=\frac{5}{2}$

∵ P点在抛物线的对称轴所在直线上

∴ 设P点坐标为($\frac{5}{2}$，m),

∵ B(4，0)， C(0，3)

∴ BC所在直线斜率：$k_{BC}=\frac{3-0}{0-4}=-\frac{3}{4}$，
PC所在直线斜率：$k_{PC}=\frac{3-m}{0-\frac{5}{2}}=\frac{2m-6}{5}$，
PB所在直线斜率：$k_{PB}=\frac{0-m}{4-\frac{5}{2}}=-\frac{2m}{3}$，

① 当∠PCB=90°时，直线PC和直线CB垂直，则：

$k_{PC}·k_{BC}=-1$，即：$\frac{2m-6}{5}·(-\frac{3}{4})=-1$

化简，得：$-6m=-38$

解得：$m=\frac{19}{3}$

∴ P点坐标为($\frac{5}{2},\frac{19}{3}$)

② 当∠BPC=90°，直线BP和直线PC垂直，则：

$k_{BP}·k_{PC}=-1$，即：$(-\frac{2m}{3})·\frac{2m-6}{5}=-1$

化简，得：$4m^2-12m-15=0$

解得：m=$\frac{3}{2}+\sqrt{6}$或m=$\frac{3}{2}-\sqrt{6}$

则P点坐标为($\frac{5}{2},\frac{3}{2}+\sqrt{6}$)或($\frac{5}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{6}$).

③ 当∠PBC=90°，直线PB和直线BC垂直，则：

$k_{PB}·k_{BC}=-1$，即：$(-\frac{2m}{3})·(-\frac{3}{4})=-1$

化简，得：$-6m=12$

解得：m=-2

则P点坐标为($\frac{5}{2}$，-2 ).

综上所述，P点的坐标为：($\frac{5}{2}$，-2 )、($\frac{5}{2},\frac{3}{2}+\sqrt{6}$)、($\frac{5}{2},\frac{3}{2}-\sqrt{6}$)、($\frac{5}{2},\frac{19}{3}$).

练习、如图，直线$y=x+2$与抛物线$y=a{x}^2+bx+6（a\ne 0）$相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

该练习题就留个给你们自己证明，一定要注意本题只有PA⊥AC，AC⊥PC两种情况，利用直线斜率来求解。

【答案】
（1）抛物线的解析式为：$y=2x^2-8x+6$；
（2）P的坐标为（3，5）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）。