上一篇文章我们介绍了正弦定理，本文介绍余弦定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

余弦定理主要是解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

一、余弦定理

1、定理内容：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

2、几何语言：
如图，在△ABC中，三边分别为a,b,c，则：

c^2=a^2+b^2-2ab·cosC

a^2=b^2+c^2-2bc·cosA

b^2=a^2+c^2-2ac·cosB

3、余弦定理公式变形

c=\sqrt{a^2+b^2-2ab·cosC}

a=\sqrt{b^2+c^2-2bc·cosA}

b=\sqrt{a^2+c^2-2ac·cosB}

cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

二、余弦定理证明

如图，在△ABC中，三边分别为a,b,c，求证：c^2=a^2+b^2-2ab·cosC

证明：如图，作AD⊥BC于D，

c^2=AD^2+BD^2

=(b·sinC)^2+(a-b·cosC)^2

=b^2sin^2C+a^2-2ab·cosC+b^2cos^2C

=b^2(sin^2C+cos^2C)+a^2-2ab·cosC

=b^2+a^2-2ab·cosC

三、例题

1、在△ABC中，如果BC=6，AB=4，cosB=\frac{1}{3}，那么AC等于（ ）.
A. 6
B. 2\sqrt{6}
C. 3\sqrt{6}
D. 4\sqrt{6}

解：由余弦定理得，
AC^2=BC^2+AB^2-2AB·BC·cosB
=36+16-2×6×4×\frac{1}{3}
=36
∴ AC=\sqrt{36}=6
故答案选A.

2、在△ABC中，a=2，b=\sqrt{3}-1，C=30°，则c等于（ ）.
A. \sqrt{3}
B. \sqrt{2}
C. \sqrt{5}
D. 2

解：由余弦定理得：
c^2=a^2+b^2-2abcosC
=4+(\sqrt{3}-1)^2-2×2×(\sqrt{3}-1)×\frac{\sqrt{3}}{2}
=2
∴ c=\sqrt{2}
故答案选B.

3、在锐角△ABC中，a^2=b^2+c^2-\sqrt{3}bc，则∠A等于（ ）.
A. 60°
B. 45°
C. 120°
D. 150°

解：由余弦定理得：
a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
∵ a^2=b^2+c^2-\sqrt{3}bc
∴ -2bc·cosA=-\sqrt{3}bc
∴ cosA=\frac{\sqrt{3}}{2}
∴ ∠A=30°

4、在△ABC中，若a：b：c=1:\sqrt{3}:2，求A，B，C。
解：∵ a：b：c=1:\sqrt{3}:2
∴ 设a=x，b=\sqrt{3}x，c=2x
由余弦定理公式变形得：
cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{x^2+3x^2-4x^2}{2x·\sqrt{3}x}=0
∴ C=90°
同理，
cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3x^2+4x^2-x^2}{2\sqrt{3}x·2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}
∴ A=30°
故B=60°
∴A=30°，B=60°，C=90°.

四、练习
1、在△ABC中，b=\sqrt{3}，c=3，B=30°，则a为（ ）.
A. \sqrt{3}
B. 2\sqrt{3}
C. \sqrt{3}或2\sqrt{3}
D. 2

2、已知△ABC中，cosA=\frac{3}{5}，a=4，b=3，则C为（ ）.

3、在△ABC中，边a，b的长是方程x^2-5x+2=0的两个根，C=60°，则C=（ ）.

【答案】
1、A，

2、解：∵在△ABC中，cosA=\frac{3}{5}，a=4，b=3，
∴由余弦定理得a{}^{2}=b{}^{2}+c{}^{2}-2bccosA，即16=9+c{}^{2}-6×\frac{3}{5}c，
整理得：5c{}^{2}-18c-35=0，
解得：c=5或c=-\frac{7}{5}（舍），
∴由余弦定理得cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{16+9−25}{2×4×3}=0，
∵ 0＜C＜180°，
∴ C=90°．

3、∵a、b的长是方程x^2-5x+2=0的两个根，
∴a+b=5，ab=2，
由此可得a^2+^b2=（a+b）^2-2ab=21．
∵△ABC中，C=60°，
∴c^2=a^2+b^2-2ab·cosC=21-2×2×\frac{1}{2}=19，

解得c=\sqrt{19}．
即边c的长为\sqrt{19}．